Un tesoro en medio de San José

Muchas personas de Costa Rica, consideramos que las mayores bellezas y los mejores de lugares para apreciar nuestra cultura, están fuera del área metropolitana y que en particular San José, nos da una visión de puras construcciones, edificios y negocios, pero esta visita por primera vez a un museo fue una gran experiencia, justo en el corazón de la capital se encuentro el Museo de Oro Precolombino.

Justo al entrar, podemos ver la excelencia del lugar, un ambiente calmado, que nos hace olvidar esa sensación de caminar por el Boulevard josefino, nos transporta a una época brillante para nuestros indígenas y nos muestra de distintas manera los elementos artísticos previo a la llegada de los españoles. Lamentablemente, no se van a poder presentar las más de 50 fotos tomadas durante la visita, pero es un lugar al cual recomiendo personalmente visitar, la seguridad, las instalaciones y la amabilidad del personal fueron aspectos inolvidables de esta excursión al museo.

Comenzaremos con una pequeña serie de elementos del museo y de sus conceptos matemáticos para la construcción:

1. Construcciones Indígenas:

En esta pequeña maqueta que es una representación de sus casas, podemos apreciar una estructura de cono circular recto en sus techos, perfectamente centrada, cabe destacar que los diseños originales de estas edificaciones eran construidas mediante elementos accesibles para los indígenas, por ejemplo los bejucos y lianas.

Maqueta de una casa indígena

Además, como anotación personal me llamó muchísimo la atención a detalles en la construcción de la aldea en general, la cual la podemos apreciar en la siguiente imagen.

Maqueta de una aldea indígena

2. Incensario con figura de saurio:

Es una hermosa figura  de piedra que probablemente fue creada entre el año 300d.C - 800d.C y se utilizaba para la realización de rituales, ya que para los indígenas los lagartos estaban vinculados a los actos funerarios.

Incensario de piedra con diseño de saurio

Desde el punto de vista geométrico y claramente omitiendo la decoración del ostentoso adorno de esa iguana o lagarto la construcción de la figura esta basada en tres semiesferas para darle estabilidad estructural a este objeto ceremonial.

3. Adorno de mono:

Esta figura de cerámica, con el diseño de un simio, refleja claramente como los artesanos de la época se centraban principalmente en hacer representaciones de los animales que observaban, en este caso la obra artística es bastante impresionante, tanto por los detalles como la forma en que es decorada.

Escultura de cerámica con diseño de simio

Desde el punto de vista de sus diseños, me llamó poderosamente la atención que esta figura en particular tenía su diseño central basado en seis sectores y no solamente en 4 como lo tienen la mayoría de las figuras presentadas en el museo, su diseño aproximado lo podemos apreciar desde el punto de vista geométrico en la siguiente imagen.

4. Vasija de serpiente:
Nuevamente, optamos por un diseño en cerámica, representando una serpiente, un animal fuertemente ligado con las estrellas y la bóveda celeste para los habitantes de Costa Rica antes de la colonización.

Vasija de cerámica con diseño de serpiente

Desde el punto de vista del diseño, es bastante simple comparado con otras piezas de la exhibición, pero un diseño basado en ondas es sumamente interesante para la época precolombina, lo interesante de este diseño es que aún actualmente es la base de muchos elementos artísticos, ya sean telas, instrumentos musicales o hasta diseños de publicidad.

5. Adorno de Oro:
Claramente no podría completarse una visita al Museo de Oro Precolombino, sin presentarse un elemento de este metal precioso, como anécdota adicional, la importancia de la fecha más que su valor o pureza era su hermoso y característico brillo, si se llega a apreciar de cerca cada pieza se puede apreciar distintas tonalidades, el cual claramente nos da una prueba de distintas proporciones utilizadas para la creación de estas obras de arte.

Adorno de Oro basado en figuras humanas

Este diseño a primera vista es bastante complejo vemos una figura grande y en las cuatro esquinas del diseño vemos figuras mas pequeñas, pero esto se basa en una cuadrícula base de tres por tres, en la siguiente figura, las partes rojas representan la figura grande y las partes azules, las figuras pequeñas.

En general, la historia de nuestro país, representada por los legados encontrados por arqueólogos es sumamente rica y como vemos, esta belleza casi hipnótica se debe a la belleza de su simetría, a la perfección de su balance y a claros elementos matemáticos presentados en la obra.

Análisis de un artículo en otro idioma.

El artículo Surfing Ancient Mathemathics resulta muy interesante, debido a que es una síntesis de los puntos más importantes de un libro titulado The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam: A Source Book. Nos presenta las ideas fundamentales de cada capítulo del libro. Primeramente, habla de la importancia del conocimiento y de como es el principal impulsor del ser humano, posteriormente menciona que la historia y en particular la historia de la matemática es sumamente importante para comprender la construcción del conocimiento humano y apreciar el genio de ciertos individuos importantes. En otro de los capítulos interesantes del libro, menciona que el encontrar documentos escritos o registros antiguos enriquece a la persona interesada en la historia, pero contrasta el hecho que es lamentable que existan civilizaciones antiguas que no sean mencionadas en los recuentos históricos como lo son los japoneses o los habitantes de América. Finalmente, hacen una comparación de como en la antigüedad la matemática era solo para un grupo muy pequeño de personas y no era enseñada al público en general por razones políticas, religiosas y culturales, con esa dificultad, odio o miedo hacia el aprender matemáticas, generando que aún siga la matemática para un grupo pequeño de personas.

A continuación se dará detalle más profundo de estos puntos fundamentales del artículo:

1. La historia de la matemática muestra que la matemática es un producto humano sujeto a las limitaciones de la humanidad y a la invención y el ingenio del hombre, no una doctrina celestial.

Al respecto de esto, es interesante ver los errores, las aproximaciones al conocimiento y como ver que en ocasiones cientos de años de conocimiento y experimentación resultan en algún argumento para construir una nueva afirmación. Estos nos acerca más a una visión de que el matemático es primero que nada una persona, no es por iluminación divina que formula y resuelve problemas, sino es por su observación, por el momento en el tiempo en que vivió y por todo el conocimiento social acumulado por sus predecesores.

2. La manipulación simbólica así como la belleza formal nos enseña que el ser humano aporta a la cultura y que las genialidades individuales existen, lo cual nos da una muestra de modestia.

No es extraño creer que podemos manejar la matemática a un nivel elevado, que podemos reproducir o llegar a deducciones que otros colegas llegaron en el pasado, pero el poder entender un concepto actual no nos debe hacer pensar que somos mejores que otros, la invención en el tiempo de su descubrimiento fue una brillante idea la cual debemos admirar aún en nuestros días.

3. Un libro acerca de civilizaciones antiguas puede permitir entender la manera en que se enseñaban los conceptos, nos da anécdotas de cómo se recuperaron los textos, de la manera en que fueron traducidos e interpretados por otras culturas, entre otras cosas.

El tener presente este tipo de conocimientos puede resultar una manera de atraer a personas que no son específicamente seguidores del conocimiento matemático, nos da como docentes una manera alternativa de llamar la atención y nos permite relacionar conceptos matemáticos con anécdotas. Cabe destacar, que para ciertas personas, es más llamativo recordar un concepto por una imagen, un vídeo o una historia en vez de una definición formal y una serie de reglas o propiedades.

4. Al hablar de civilizaciones, los historiadores se han centrado principalmente en las desarrolladas en Europa o zonas cercanas a Europa, como lo son Egipto o la región de Mesopotamia.

Es claro que en el continente americano, tanto en el sur como el norte del mismo, se desarrollaron civilizaciones brillantes, con sus avances importantes en la agricultura, en la construcción y en la artesanía, por citar solo algunas áreas de desarrollo. El hecho de que no se mencione se debe a que hay tantas culturas que nos aportan que hay que elegir en cual se debe centrar, pero lo importante es meditar acerca de que no solo una civilización específica dio todos los aportes.

5. A lo largo de la historia la matemática ha sido enseñada a un grupo élite de personas y no al público general.

En la antigüedad era complicado llegar a tener una educación a menos que se perteneciera a una clase muy favorecida, en la actualidad el problema es distinto, incluso las personas con educación superior no comprenden los conceptos matemáticos detrás de ciertas aplicaciones, como los dispositivos electrónicos, para ellos es algo terrorífico o simplemente no quieren ni saberlo.


Bibliografía.

Davis, P. (2009). Surfing Ancient Matemathics. SIAM News. Society for Industrial and Applied Mathematics. 

¿Quién fue Bertrand Arthur William Russell?

Bertrand Russell nació en Trelleck el 18 de mayo en 1872 y murió en Penrhyndeudraeth el 2 de febrero de 1970 a los 97 años de edad. Esta persona me parece sumamente interesante respecto a las situaciones de su vida, sus prioridades y enfoques, ese romance con la matemática, la filosofía, la lógica, la política y la paz, entre otras áreas lo convirtieron en una de las personas más sobresalientes del siglo XX, desde siempre he admirado a las personas polifacéticas y al tener la oportunidad de elegir un matemático notable, Russell fue mi primera opción. Sin embargo, en muchos aspectos fue muy polémico y se podría hablar acerca de sus decisiones y la posición que adoptó frente a la religión, el matrimonio o la moralidad sexual, pero en vez de eso esta entrada se deja a un lado esas posiciones controversiales.

Al tener 3 años, sus padres fallecen y al ser parte de la nobleza de Gales, Bertrand y su hermano fueron llevados con su abuela. En lo que respecta a su educación, Bertrand tenía tutores privados, a los 11 años de edad quedó fascinado por la geometría euclídea, principalmente por ser un conocimiento demostrable. Para el año de 1890 fue a la Universidad Cambridge a estudiar matemáticas graduándose con honores en 1894 como el primero en su clase, adoptando una postura filosófica y dejando algo de lado las matemáticas, su pensamiento fue tan importante que formó parte por muchos años de una sociedad de estudiantes conocida como “Apostles” la cual tenía entre sus miembros a los grandes filósofos de su tiempo.

Años más tarde, influenciado por un grupo de matemáticos, entre ellos  Karl Weierstrass, George Cantor y Richard Dedekind, quienes trabajaban en plantear una serie de fundamentos lógicos rigurosos en las matemáticas, Russell fue impactado por la importancia matemática y filosófica de estas acciones y gracias a ello las siguió durante el resto de su vida. En este momento comienza una idea brillante, el probar que no solo la matemática estaría regida por una serie de normas y leyes rigoristas sino también que estas pueden ser aplicadas a muchos aspectos de la vida, a esta teoría se le conocería como “logicismo” y fue publicada en 1903 con la colaboración de Alfred Whitehead en el libro "The Principles of Mathematics", con el cual el logicismo se extendió a conjuntos y proposiciones. Ahora bien, no todo fue tan simple y sencillo, en 1901 al ya tener una serie de reglas y proposiciones establecidas para sacar la duda, la vida parecía sonreírles, sin embargo surgió una idea que parecía traer abajo toda la teoría del logicismo, la cual es llamada La Paradoja de Russell, la cual puede ser expresada así:

“Considere el conjunto R como todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, ahora bien ¿R es un miembro de R?”

Para analizar un poco mejor este concepto, imaginemos que vamos a afeitarnos a una barbería en nuestro pueblo, el barbero nos dice que el afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, entonces ¿el barbero se afeitará a sí mismo? Esto nos lleva a una contradicción sin importar lo que el barbero responda  y ese fue el gran asunto planteado por la Paradoja de Russell, la cual el mismo la describió como un círculo vicioso, ya que sin importar que tanto replanteará las leyes lógicas no podría escaparse de esa paradoja. Esto no fue impedimento total ya que luego de varios años, finalmente planteó lo conocido como Teoría de Tipos durante los años de 1910 a 1913, la cual no tuvo una buena aceptación por el nivel de complejidad presentada y no apreciaron la joya que tenían frente a sus ojos.

Durante la primera guerra mundial, fue un agitador político, haciendo campañas por la paz, esto lo llevo a juicio dos veces frente a los tribunales británicos, siendo condenado a cumplir 6 meses de prisión en su segundo juicio. Esta época cambio la visión de Russell acerca de la política y se volvió un fan del socialismo, hasta que visitó la unión soviética en 1920 y al ver la situación del lugar, adquirió una aversión permanente al comunismo.

Para el año de 1918, presenta “Introduction to Mathematical Philosophy” teniendo un enfoque epistomológico en vez del enfoque lógico utilizando en su primer libro. Este aporte para la humanidad tuvo un enorme impacto,  ya que fue la base para muchas teorías y tendencias matemáticas y filosóficas durante muchos años.

En 1927, junto a su segunda esposa llegan a ser dueños de la escuela primaria “Beacon Hill” teniendo una educación experimental para sus estudiantes, sin embargo para poder sufragar los gastos Russell debe hacer giras de lectura por los Estados Unidos. Luego de divorciarse de su esposa trabajó en la Universidad de Chicago, en la Universidad de California en Los Ángeles y en la Fundación Barnes en Filadelfia hasta 1945. Bertrand fue galardonado con la Medalla Sylvester de la Sociedad Real y la Medalla de Morgan de la Sociedad Matemática de Londres, ambas en 1934 y el Premio Nobel en literatura en 1950.

En las últimas dos décadas de su vida, llego a ser un fuerte protestante de las armas nucleares y criticó la guerra de Vietnam, fomentando en los jóvenes de la época a la desobediencia civil, esto lo llevo a juicio a los 89 años frente al tribunal británico y terminó siendo encarcelado por segunda ocasión. En 1970, fue recordado por fomentar la paz, en vez de por sus aportes matemáticos o filosóficos, sin embargo en ambos campos Bertrand Russell fue brillante y sus aportes serán siendo utilizados por muchas generaciones.

Referencias

     Encyclopaedia Britanica (2016). Bertrand Russell Brithish Logician and Philosopher: Encyclopaedia Britanica. Recuperado de www.britannica.com/biography/Bertrand-Russell

    Noble Prize (2014). Bertrand Russell: Biographical: Nobel Prize and Laureates. Recuperado de www.nobelprize.org/nobel_prizes/literature/laureates/1950/russell-bio.html

Reporte de Investigación de Tesis

La entrada del blog corresponde a analizar y presentar los resultados de un trabajo de grado presentado en Bogotá, Colombia en el año 2004 acerca de cómo poder utilizar la historia de la matemática como parte de un proceso de enseñanza respecto al tema de las derivadas, fue un trabajo de tipo cualitativo e investigativo donde se propone plantear una manera distinta de abordar el tema de derivadas.

Comienza a plantear que un docente debería de conocer la conceptualización histórica de ciertos contenidos matemáticos con dos fines, primeramente encontrar buenos ejemplos y ampliar las experiencias de sus estudiantes, como segundo punto expone que al analizar el desarrollo histórico se puede encontrar posibles factores que hagan difícil a los estudiantes el poder asimilar los nuevos conceptos o contenidos. Esta forma de ver la historia en la labor docente me parece bastante objetivo, puesto que lo importante no es solo dominar cabalmente los objetivos y conceptos matemáticos sino depende mucho en la forma en que podemos explicarnos, en la manera de transmitir y hacer reflexionar a nuestros estudiantes, además el ver los problemas que ha tenido la humanidad durante siglos puede hacer que tengamos una mayor compresión de los estudiantes y así entender como docentes que no todo es tan simple de asimilar en poco tiempo, así que nos puede volver más sensibles y comprensivos.

También consideran que muchas veces solo se citan a Newton y Leibniz como los inventores del cálculo dando una visión superficial y bilateral del desarrollo del cálculo. Es importante no solo quedarnos en los aportes finales, cada aporte fue indispensable para tener el cálculo que tenemos hoy día y deberíamos siempre de dar la importancia a todos aquellos seres humanos que aportaron para su desarrollo, no solo mencionar a quien culminó el trabajo o sentó los avances más importantes.

En cuanto a las propuestas pedagógicas el autor propone abordar el tema de las derivadas según sus bases teóricas, tomando tres etapas y cada una de ella dividiéndola en dos más de la siguiente manera:

Etapa Geométrica	Habitantes de Egipto y Mesopotamia usaban aproximaciones del concepto de función o de límite para intentar comprender fenómenos naturales como los periodos de visualización del planeta. Los griegos utilizaron el método exhaustivo para aproximar el área del círculo.
Etapa Geométrico Aritmética	La humanidad se cuestiona la pendiente de la recta tangente, lo que daría origen al cálculo diferencial y también el área bajo la curva lo que originaría el cálculo integral. Newton y Leibniz aceptan la utilización de los procesos infinitos y los comienzan a utilizar para sus conclusiones.
Etapa Aritmética	Aparece la palabra límite y comienza su materialización cambiando los conceptos de “infinitamente pequeños” o “infinitamente grande”. Cauchy define el concepto de límite y Weiertrass rigoriza esa definición.

Haciendo una relación entre cada etapa el autor propone tres etapas para desarrollar el concepto de la derivada:

Etapa de Iniciación	Se propone a analizar posibles fenómenos naturales que se propusieron a explicar las antiguas civilizaciones y también analizar un poco los problemas de la civilización griega para aproximar las áreas.
Etapa de Formación y Concretización	Mediante un sistema de coordenadas, comenzar a plantear los problemas del cálculo diferencial e integral y siguiendo el trabajo de varios precursores del cálculo ir aproximando la necesidad del límite para para resolver el problema. Seguido de esto, se puede generalizar y concretizar los conceptos así como lo hicieron en su tiempo Newton y Leibniz.
Etapa de Formalización	Acá se plantea utilizar el concepto actual y formal de lo que conocemos como derivada utilizando el límite como parte fundamental de esta definición.

Esta comparación de cómo presentar el concepto de derivada de forma paralela al desarrollo histórico, presenta una manera distinta del uso de la historia de la matemática en la labor docente, no solo se limita a la clásica anécdota que utilizamos frecuentemente sino da herramientas didácticas a los docentes para presentar los contenidos. Puede que estos resultados den pie a otra futura investigación se le podría dar un enfoque cuantitativo a estos hechos, poniendo en práctica y comparando dos distintas poblaciones y de cómo asimilan el concepto de derivada dependiendo la manera en que le es introducido y ver si la metodología propuesta, arroja diferencias significativas entre ambas muestras.

Referencias:

Guzmán, J. (2004). Elementos de Uso de la Historia para los procesos de enseñanza de la derivada en contextos escolares (tesis de grado). Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia. Recuperado de https://es.slideshare.net/jaimeemoreno/tesis-matemticas

Breve desarrollo de la matemática desde la prehistoria hasta fines del siglo XVI

Prehistoria:

Entre los primeros indicios que tenemos es la realización de marcas en huesos de lobos hace aproximadamente 20 000 años, para contar elementos, dando origen al número 1 o la unidad de manera consistente, este hueso es llamado hueso de Ishango.

Sumerios:

Esta civilización le dio una representación a la unidad por medio de conos pequeños, debido a su estilo de vivir en ciudad posiblemente necesitaban organizarse mejor, lo cual dio avances a la aritmética donde ya fue posible realizar sustracciones y no solo adiciones. Sin embargo, mediante un descubrimiento brillante estos conos fueron reemplazados por impresiones en tablas de arcillas y así formó a ser parte de un sistema escrito.

Egipcios:

Aproximadamente en el 6000 A.C, se dio la creación del calendario marcando como principal acontecimiento el desbordamiento del Río Nilo, por lo que es necesario contar los días entre desbordamientos.

Además con la agricultura fue necesario medir las áreas de cultivo, por lo que crearon medidas a través de sus cuerpos como un palmo o un cúbito y finalmente llegó a ser un codo.

Su sistema numérico fue a base decimal basándose en un sistema decimal donde los números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000, utilizaron fracciones y hasta aproximaron el número pi con 3.16. Claramente sus construcciones son lo más impresionante, utilizando la terna Pitagórica (3,4,5).

Griegos:

Nos dieron la estructura lógica y formal para la demostración de pruebas, adoptando axiomas y a partir de ellos demostrando teoremas y propiedades,  principalmente aportes en pruebas geométricas, encontrando la belleza en el equilibrio de sus diseños arquitectónicos .Aparte analizaron la música de forma distinta, dando el primer enfoque a las series armónicas, según el peso relativo entre dos objetos, si su relación es de números de enteros los sonidos serán más agradables de escuchar.

Romanos:

Su enfoque fue más práctico, como método para organización dejando de lado la parte teórica, sus sistemas de numeración basado en los signos I, V, X, L, C, D, M eran únicamente para registrar resultados, sus cálculos se hacían mediante tablas lo cual dificultaba realizar operaciones, debido al poder y a la influencia del imperio romano en Europa este sistema se arraigó y fue el principal método de numeración por más de mil años.

Indios:

Desarrollaron los números arábigos, es decir los números que utilizamos actualmente y alrededor del 500 D.C. se dio la invención del cero,  pudiendo crear números infinitamente grandes o infinitamente pequeños adelantando por siglos muchos conocimientos que llegaron siglos después a Europa.

Árabes: 

Creadores de las ecuaciones cuadráticas y el álgebra, dando fuertes propiedades a las operaciones, haciendo que la utilización de los números indios fueran indispensables y comenzaran a desplazar los números romanos.

Por ejemplo, al haber reformas en cuanto a los préstamos y los valores de interés, su versatilidad hizo que los números romanos vieran pronto su fin, ya que estos cálculos eran simples en números indios.

¿Es matemática o son matemáticas?

     A través de la historia de la humanidad, se han generado diferentes grupos de poblaciones, con características que los distinguen como su religión, idioma, organización social, entre otras. Sin embargo, también es así con su propia matemática, para las distintas civilizaciones la manera de entender los conceptos matemáticos depende del factor cultural en que hayan nacido, esto lo podemos notar incluso con algo tan simple como las bases de los sistemas de numeración, por circunstancias como estas su matemática particular se desarrolló con diferencias y semejanzas a la que actualmente utilizamos, teniendo así muchas matemáticas.

     Para hablar un poco de la historia y dar algunos argumentos del desarrollo histórico de las matemáticas debemos tener en cuenta aspectos culturales y entender las matemáticas como parte de la cultura de la humanidad de igual forma como entendemos los idiomas. Este enorme concepto que tenemos con todos nuestros teoremas y leyes que rigen nuestra realidad y que actualmente podemos ver natural fue acumulado y desarrollándose gradualmente, pero esto no fue por alguna iluminación o un genio sin precedentes. Los descubrimientos y avances en la humanidad han sido debido a un proceso de maduración, la acumulación de errores y conocimientos que nos han pasado generación tras generación, que se conectaron e interactuaron para llegar a un momento justo en el que el avance era evidente y debía de ser descubierto, por lo que este brillante matemático el cual lleva su nombre o apellido fue un catalizador de la sociedad en el momento adecuado para desarrollarse. De no haber sido él en específico, la sociedad humana hubiera podido encontrar a otra persona, muy probablemente de su época, para aportarnos ese conocimiento, eso lo podemos mostrar por las múltiples ocasiones donde distintas personas han llegado a conclusiones muy similares aunque tengan labores independientes, sustentado en que ese grupo de personas poseía las suficientes interacciones con su entorno para generar esas ideas.

     De ahí debemos la importancia de la historia de las matemáticas, nos permite transmitir a las nuevas generaciones aspectos importantes y tratar de aumentar nuestra cultura para llevar a la humanidad a descubrir nuevos argumentos, el recordar ciertos eventos puede hacer despertar nuevas inquietudes que como sociedad hemos dejado olvidadas pero que pronto sean pertinentes para el tiempo en que vivimos. Como docentes, es importante propiciar un aprendizaje completo y hacer recordar que los orígenes de estructuras tan complejas como nuestra actual matemática son producto del tiempo y del esfuerzo de la humanidad.

Referencia Bibliográfíca:

White, L. (1988). El Locus de la Realidad Matemática. Barcelona, España: Círculo Universidad.

Acerca del Autor

Mi nombre es Daniel Brenes Arroyo, bachiller en enseñanza de la Matemática obtenido en la Universidad Nacional de Costa Rica y actualmente cursando la Licenciatura en la misma universidad. Este Blog es creado con fines académicos para poder hacer un recuento de la historia de las matemáticas y así recopilar información.
En cuanto a la visión personal de las matemáticas, considero que permite crear realidades que se han considerado inconcebibles, tener un universo nuevo de reglas y fenómenos, esa belleza intangible ha sido mi motivación para tomar mi profesión y al ser un educador puedo compartir parte de esta pasión con muchas personas más.