Reporte de Investigación de Tesis

La entrada del blog corresponde a analizar y presentar los resultados de un trabajo de grado presentado en Bogotá, Colombia en el año 2004 acerca de cómo poder utilizar la historia de la matemática como parte de un proceso de enseñanza respecto al tema de las derivadas, fue un trabajo de tipo cualitativo e investigativo donde se propone plantear una manera distinta de abordar el tema de derivadas.

Comienza a plantear que un docente debería de conocer la conceptualización histórica de ciertos contenidos matemáticos con dos fines, primeramente encontrar buenos ejemplos y ampliar las experiencias de sus estudiantes, como segundo punto expone que al analizar el desarrollo histórico se puede encontrar posibles factores que hagan difícil a los estudiantes el poder asimilar los nuevos conceptos o contenidos. Esta forma de ver la historia en la labor docente me parece bastante objetivo, puesto que lo importante no es solo dominar cabalmente los objetivos y conceptos matemáticos sino depende mucho en la forma en que podemos explicarnos, en la manera de transmitir y hacer reflexionar a nuestros estudiantes, además el ver los problemas que ha tenido la humanidad durante siglos puede hacer que tengamos una mayor compresión de los estudiantes y así entender como docentes que no todo es tan simple de asimilar en poco tiempo, así que nos puede volver más sensibles y comprensivos.

También consideran que muchas veces solo se citan a Newton y Leibniz como los inventores del cálculo dando una visión superficial y bilateral del desarrollo del cálculo. Es importante no solo quedarnos en los aportes finales, cada aporte fue indispensable para tener el cálculo que tenemos hoy día y deberíamos siempre de dar la importancia a todos aquellos seres humanos que aportaron para su desarrollo, no solo mencionar a quien culminó el trabajo o sentó los avances más importantes.

En cuanto a las propuestas pedagógicas el autor propone abordar el tema de las derivadas según sus bases teóricas, tomando tres etapas y cada una de ella dividiéndola en dos más de la siguiente manera:

Etapa Geométrica	Habitantes de Egipto y Mesopotamia usaban aproximaciones del concepto de función o de límite para intentar comprender fenómenos naturales como los periodos de visualización del planeta. Los griegos utilizaron el método exhaustivo para aproximar el área del círculo.
Etapa Geométrico Aritmética	La humanidad se cuestiona la pendiente de la recta tangente, lo que daría origen al cálculo diferencial y también el área bajo la curva lo que originaría el cálculo integral. Newton y Leibniz aceptan la utilización de los procesos infinitos y los comienzan a utilizar para sus conclusiones.
Etapa Aritmética	Aparece la palabra límite y comienza su materialización cambiando los conceptos de “infinitamente pequeños” o “infinitamente grande”. Cauchy define el concepto de límite y Weiertrass rigoriza esa definición.

Haciendo una relación entre cada etapa el autor propone tres etapas para desarrollar el concepto de la derivada:

Etapa de Iniciación	Se propone a analizar posibles fenómenos naturales que se propusieron a explicar las antiguas civilizaciones y también analizar un poco los problemas de la civilización griega para aproximar las áreas.
Etapa de Formación y Concretización	Mediante un sistema de coordenadas, comenzar a plantear los problemas del cálculo diferencial e integral y siguiendo el trabajo de varios precursores del cálculo ir aproximando la necesidad del límite para para resolver el problema. Seguido de esto, se puede generalizar y concretizar los conceptos así como lo hicieron en su tiempo Newton y Leibniz.
Etapa de Formalización	Acá se plantea utilizar el concepto actual y formal de lo que conocemos como derivada utilizando el límite como parte fundamental de esta definición.

Esta comparación de cómo presentar el concepto de derivada de forma paralela al desarrollo histórico, presenta una manera distinta del uso de la historia de la matemática en la labor docente, no solo se limita a la clásica anécdota que utilizamos frecuentemente sino da herramientas didácticas a los docentes para presentar los contenidos. Puede que estos resultados den pie a otra futura investigación se le podría dar un enfoque cuantitativo a estos hechos, poniendo en práctica y comparando dos distintas poblaciones y de cómo asimilan el concepto de derivada dependiendo la manera en que le es introducido y ver si la metodología propuesta, arroja diferencias significativas entre ambas muestras.

Referencias:

Guzmán, J. (2004). Elementos de Uso de la Historia para los procesos de enseñanza de la derivada en contextos escolares (tesis de grado). Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia. Recuperado de https://es.slideshare.net/jaimeemoreno/tesis-matemticas

Breve desarrollo de la matemática desde la prehistoria hasta fines del siglo XVI

Prehistoria:

Entre los primeros indicios que tenemos es la realización de marcas en huesos de lobos hace aproximadamente 20 000 años, para contar elementos, dando origen al número 1 o la unidad de manera consistente, este hueso es llamado hueso de Ishango.

Sumerios:

Esta civilización le dio una representación a la unidad por medio de conos pequeños, debido a su estilo de vivir en ciudad posiblemente necesitaban organizarse mejor, lo cual dio avances a la aritmética donde ya fue posible realizar sustracciones y no solo adiciones. Sin embargo, mediante un descubrimiento brillante estos conos fueron reemplazados por impresiones en tablas de arcillas y así formó a ser parte de un sistema escrito.

Egipcios:

Aproximadamente en el 6000 A.C, se dio la creación del calendario marcando como principal acontecimiento el desbordamiento del Río Nilo, por lo que es necesario contar los días entre desbordamientos.

Además con la agricultura fue necesario medir las áreas de cultivo, por lo que crearon medidas a través de sus cuerpos como un palmo o un cúbito y finalmente llegó a ser un codo.

Su sistema numérico fue a base decimal basándose en un sistema decimal donde los números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000, utilizaron fracciones y hasta aproximaron el número pi con 3.16. Claramente sus construcciones son lo más impresionante, utilizando la terna Pitagórica (3,4,5).

Griegos:

Nos dieron la estructura lógica y formal para la demostración de pruebas, adoptando axiomas y a partir de ellos demostrando teoremas y propiedades,  principalmente aportes en pruebas geométricas, encontrando la belleza en el equilibrio de sus diseños arquitectónicos .Aparte analizaron la música de forma distinta, dando el primer enfoque a las series armónicas, según el peso relativo entre dos objetos, si su relación es de números de enteros los sonidos serán más agradables de escuchar.

Romanos:

Su enfoque fue más práctico, como método para organización dejando de lado la parte teórica, sus sistemas de numeración basado en los signos I, V, X, L, C, D, M eran únicamente para registrar resultados, sus cálculos se hacían mediante tablas lo cual dificultaba realizar operaciones, debido al poder y a la influencia del imperio romano en Europa este sistema se arraigó y fue el principal método de numeración por más de mil años.

Indios:

Desarrollaron los números arábigos, es decir los números que utilizamos actualmente y alrededor del 500 D.C. se dio la invención del cero,  pudiendo crear números infinitamente grandes o infinitamente pequeños adelantando por siglos muchos conocimientos que llegaron siglos después a Europa.

Árabes: 

Creadores de las ecuaciones cuadráticas y el álgebra, dando fuertes propiedades a las operaciones, haciendo que la utilización de los números indios fueran indispensables y comenzaran a desplazar los números romanos.

Por ejemplo, al haber reformas en cuanto a los préstamos y los valores de interés, su versatilidad hizo que los números romanos vieran pronto su fin, ya que estos cálculos eran simples en números indios.

¿Es matemática o son matemáticas?

     A través de la historia de la humanidad, se han generado diferentes grupos de poblaciones, con características que los distinguen como su religión, idioma, organización social, entre otras. Sin embargo, también es así con su propia matemática, para las distintas civilizaciones la manera de entender los conceptos matemáticos depende del factor cultural en que hayan nacido, esto lo podemos notar incluso con algo tan simple como las bases de los sistemas de numeración, por circunstancias como estas su matemática particular se desarrolló con diferencias y semejanzas a la que actualmente utilizamos, teniendo así muchas matemáticas.

     Para hablar un poco de la historia y dar algunos argumentos del desarrollo histórico de las matemáticas debemos tener en cuenta aspectos culturales y entender las matemáticas como parte de la cultura de la humanidad de igual forma como entendemos los idiomas. Este enorme concepto que tenemos con todos nuestros teoremas y leyes que rigen nuestra realidad y que actualmente podemos ver natural fue acumulado y desarrollándose gradualmente, pero esto no fue por alguna iluminación o un genio sin precedentes. Los descubrimientos y avances en la humanidad han sido debido a un proceso de maduración, la acumulación de errores y conocimientos que nos han pasado generación tras generación, que se conectaron e interactuaron para llegar a un momento justo en el que el avance era evidente y debía de ser descubierto, por lo que este brillante matemático el cual lleva su nombre o apellido fue un catalizador de la sociedad en el momento adecuado para desarrollarse. De no haber sido él en específico, la sociedad humana hubiera podido encontrar a otra persona, muy probablemente de su época, para aportarnos ese conocimiento, eso lo podemos mostrar por las múltiples ocasiones donde distintas personas han llegado a conclusiones muy similares aunque tengan labores independientes, sustentado en que ese grupo de personas poseía las suficientes interacciones con su entorno para generar esas ideas.

     De ahí debemos la importancia de la historia de las matemáticas, nos permite transmitir a las nuevas generaciones aspectos importantes y tratar de aumentar nuestra cultura para llevar a la humanidad a descubrir nuevos argumentos, el recordar ciertos eventos puede hacer despertar nuevas inquietudes que como sociedad hemos dejado olvidadas pero que pronto sean pertinentes para el tiempo en que vivimos. Como docentes, es importante propiciar un aprendizaje completo y hacer recordar que los orígenes de estructuras tan complejas como nuestra actual matemática son producto del tiempo y del esfuerzo de la humanidad.

Referencia Bibliográfíca:

White, L. (1988). El Locus de la Realidad Matemática. Barcelona, España: Círculo Universidad.